Riassunto.
Scopo di questo piccolo lavoro è sottolineare le problematicità e le incongruenze legate al concetto di angolo. In particolare quelli dovuti all‟introduzione dell‟angolo come “parte di piano” o come intersezione o unione di semipiani chiusi, e nel prospettarne una possibile rimozione. Il concetto di angolo è senza dubbio quello che solleva le maggiori difficoltà nell‟insegnamento della geometria. Esse sono dovute, in parte a una terminologia imprecisa, in parte a un miscuglio confuso di varie nozioni matematiche, a esempio alla confusione tra angolo e sua misura, e anche all‟autentica difficoltà della questione. Vediamo di fare un po‟ di chiarezza, poiché sembra che anche noi insegnanti abbiamo le idee un...tantino confuse e i libri adottati presentano sugli angoli diverse contraddizioni. Per Euclide: «Angolo piano è l‟inclinazione reciproca di due linee rette sul piano, le quali s‟incontrino e non giacciano in linea retta». (Questa più che una definizione è un descrizione). Gli studiosi di Euclide sostengono che questa nozione di angolo è verosimilmente legata all‟apparente rotazione del Sole. Osservo che l‟angolo è pensato in sostanza come rotazione.

Questo concetto di angolo esclude l‟angolo nullo e quello piatto e si limita agli altri angoli convessi.
Per Hilbert: «Due semirette (h,k) uscenti da un medesimo punto O e non appartenenti ad una medesima retta costituiscono un angolo». Anche tale visione di angolo esclude l‟angolo nullo e quello piatto. Questa definizione, puramente formale, è data nei Fondamenti della geometria del 1899, versione riveduta e corretta degli Elementi di Euclide, per renderli “completi”, cioè tali da consentire di dimostrare tutte le proposizioni vere del sistema assiomatico presentato; i Fondamenti presentano per ciò ben ventuno assiomi.

Ci sono state poi altre definizioni, di Apollonio, di Pappo, ecc., alcune delle quali ricalcano quella euclidea, mentre altre sono diverse, più complesse, ma non chiariscono esaurientemente la nozione.
L‟angolo come parte di piano fu introdotto in Italia intorno al 1750, sotto la spinta della definizione data da Arnaud negli Éléments de Géométrie nel 1667, mentre Clairaut, nei suoi innovativi Eléments de Géométrie, 1741, definiva l‟angolo al modo euclideo. Il testo, nella traduzione di Carlo Giulio del 1850, fu usato per diecine di anni nelle scuole italiane.

Pochi decenni dopo in Inghilterra l‟angolo era identificato col concetto intuitivo di rotazione. Da quanto sopra è chiaro che la definizione proposta da Arnaud – che era soprattutto teologo e filosofo – è allora una tra le tante, mentre non sono chiare le motivazioni della sua persistenza. Ciò, anche alla luce dei suggerimenti di Veronese, che la sconsigliava per le incongruenze che presenta e suggeriva di considerare l‟angolo come "parte del fascio di raggi" cui appartiene (Ciò favorisce la visione di angolo nel senso moderno di rotazione). Illuminante, in relazione alla persistenza tutt‟oggi della definizione di Arnaud, è il seguente passo del prof. G. Prodi.

“Sono in vacanza. C’è con noi un giovane nipote che è stato rimandato in matematica; è naturale che me ne occupi io. (...) Prendiamo le mosse della geometria, cominciando dal teorema che recita: se un triangolo ha due angoli uguali, ha anche due lati uguali. Cerco di convincere il nipote della bellezza del risultato, ma la dimostrazione che trovo sul libro di testo del ragazzo mi disgusta: si prolungano i lati uguali, si fa un’incastellatura orribile, poi si procede per differenza di angoli, ecc. (...). Quella proposta è la dimostrazione che si trova nel I Libro degli Elementi.
La storiella finisce qui, ma può avere una morale interessante. Se l’autore di un testo di fisica esponesse oggi la meccanica sulla base della “teoria dell’impeto”, si coprirebbe di ridicolo (...).
La matematica deve si conservare i suoi risultati fondamentali ma finisce spesso per prolungare certe metodologie e certi abiti mentali al di là del loro limite naturale di sopravvivenza”.

Lo stesso “accanimento”....geometrico c‟è per la nozione di angolo come parte di piano.
Con la simmetria assiale tutto sarebbe naturale, semplice e immediato.

In alcuni libri di testo di matematica che vanno per la maggiore si trovano le seguenti definizioni:
1. Angolo è la parte di piano delimitata (!?) da due semirette (lati) aventi la stessa origine (vertice).
2. Angolo è ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette che hanno la stessa origine. (Già questa è meno peggio).
3. E’ l’intersezione o l’unione di due semipiani le cui origini sono incidenti.
(Vengono poi aggiunti i casi in cui le rette coincidono).

Poco dopo, il testo che dà la prima definizione, asserisce che la definizione data è ambigua (mah!) e che la confusine scompare introducendo la nozione di angolo orientato, che è così formulata: Un angolo si dice orientato quando si sceglie un lato come origine e un senso di rotazione.

Rimango perplesso.

• Non è stato introdotto il concetto di rotazione.
• Dato che un angolo è una parte di piano, “che ci azzecca” la rotazione con esso?
• L‟angolo sarebbe allora una parte di piano orientata?

In un altro importante testo, dopo la definizione di angolo, si legge:
«Nei paragrafi precedenti abbiamo definito l‟angolo come l‟insieme dei punti compresi (?) tra due semirette aventi la stessa origine O. Possiamo però definire l‟angolo anche come rotazione di una semiretta intorno alla propria origine, la misura di un angolo diventa allora la misura dell‟entità della rotazione». Ma, non si è definita la rotazione né “ la misura dell‟entità della rotazione”. E comunque s‟introduce ex abrupto l‟angolo come rotazione.
Nella definizione del punto 3, con le aggiunte, come si ottiene l‟angolo nullo, dato che si
considerano semipiani determinati da rette incidenti o coincidenti?
Alfio Grasso